Переменные в алгебре. Употребление букв

При решении задач и уравнений мы часто используем буквы в выражениях. Эти буквы обозначают переменные, то есть величины, которые могут меняться.

Например, на нашем сайте вы получаете 5 очков энергии за прочтение урока и 10 очков энергии за каждый выполненный мини-тест внутри урока. Но количество тестов каждый раз разное, то есть количество тестов внутри урока — переменная. Получим такую формулу:

очки за урок = $5 + 10 \times$ количество тестов

Но писать словами «количество тестов» каждый раз неудобно, поэтому неизвестное число (переменную) заменяют буквами латинского алфавита $x, y, z, a, b$…

Заменим количество тестов буквой $t$, тогда общее число очков энергии за выполненный урок можно посчитать по формуле:

$$5 + 10 \times t $$

Например в данном уроке 2 мини теста, соответсвенно $t = 2$. Тогда общее число энергии после прохождения данного урока будет равно:

$$t = 2$$

$$5 + 10 \times 2 = 5 + 20 = 25$$

Рассмотрим основные применения букв в алгебре.

Выражение основных свойств чисел

Выразим, что от перестановки мест множителей произведение не меняется в краткой форме. Тогда, обозначив одно слагаемое буквой $а$, а другое буквой $b$, мы пишем равенство:
$$a \times b = b \times a$$

или

$$аb = bа$$

условившись, что отсутствие какого-либо знака между числами означает перемножение этих чисел.

{"questions":[{"widgets":{"choice":{"type":"choice","options":["$a+b = b+a$","$ab = ba$","$(a+b)(b+a) = (b+a)(a+b)$","$a+b = c+m$"],"explanations":["","Это равенство выражает то, что от перестановки множителей произведение не меняется","Это равенство выражает то, что от перестановки множителей произведение не меняется","Данное равенство неверно"],"answer":[0]}},"content":"Какое равенство выражает то, что от перестановки слагаемых сумма не меняется[[choice]]","hints":["Обозначим первое слагаемое буквой $a$, а второе - букой $b$. Тогда сумма будет равна $a+b$","Поменяем $a$ и $b$ местами и получим $b+a$ Приравняем к первой сумме и получим $a+b = b+a$"]}]}

Для сокращенного выражения правила, посредством которого можно решать задачи

Решим задачу:
Найти $6\%$ числа $624$

Так как  $1\%$ какого-нибудь числа сотавляет $\frac{1}{100}$ числа, то $1\%$ числа $624$ составляет $$\frac{624}{100} = 6.24$$

то есть $6\%$ — это$$\frac{624}{100} \times 6 = 37.44$$

Для нахождения какого-либо процента от данного числа, нужно разделить это число на $100$, и получившийся результат от деления умножить на количество процентов. Чтобы выразить это наглядно, мы предложим задачу в таком общем виде: Найти $k\%$ числа $а$.

Решим задачу таким способом:

$1\%$ числа $а$ составляет $\frac{a}{100}$, то $$k\% = \frac{a}{100} \times k$$ Обозначив искомое число буквой $х$, мы можем написать равенство:$$x = \frac{a}{100} \times k$$

из которого понятно, как находить проценты от любого данного числа.

По аналогии, чтобы кратко выразить правило умножения или деления дроби на дробь, мы обозначаем дроби буквами: $\frac{a}{b}$  и $\frac{c}{d}$ и пишем равенства:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$$

Заметим, что всякий закон, выражающее при помощи букв и знаков действий какое-нибудь выражения, касающееся чисел, называется формулой.

Базовые арифметические формулы

произведение $2n$  выразит любое четное  число.
Так, если вместо $n$ подставить числа: $1, 2, 3 …$, то произведение $2n$ даст: $2 \times 1 = 2;   2 \times 2 = 4;   2 \times 3 = 6$ и т. д.

При $n$ целом сумма $2n + 1$ выражает любое нечетное число; так, если $n = 0, 1, 2, 3…$, то сумма $2n + 1$  даст: $$2 \times 0+1=0 + 1 = 1$$

$$2 \times 1 + 1 = 2 + 1=3$$

и так далее.

Если в каком-нибудь двузначном числе на месте десятков стоит цифра $а$, а на месте единиц цифра $b$, то всех единиц в таком числе будет $10а + b$. Например, в числе, у которого десятков $8$, а простых единиц $5$, всего единиц будет $$10 \times 8 + 5 = 80 + 5 = 85$$

Если в трехзначном числе на месте сотен стоит цифра $а$, на месте десятков — цифра $b$ и на месте единиц — цифра $с$, то всех единиц в таком числе должно быть $100а + 10b + с$. Например, если в числе $4$ сотни, $6$ десятков и $8$ единиц, то всего единиц оно равно: $$100 \times 4 + 10 \times 6 + 8 = 468$$

{"questions":[{"widgets":{"choice":{"type":"choice","options":["Для выражения основных свойств чисел","Для сокращенного выражения правил","В базовых арифметических формулах","Для обозначения равенства чисел"],"explanations":["","","","Для этого используется знак $=$"],"answer":[0,1,2]}},"content":"Для чего в алгебре употребляются буквы?[[choice]]"}]}