0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Степень числа с натуральным показателем

Содержание

    Вы уже знакомы с понятием степени числа . В этом и последующих уроках мы не только повторим, но и углубим знания по этой теме.

    Определение понятия «степень с натуральным показателем»

    Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим $1$, называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$:
    $a^{n} = \underbrace{a\cdot a\cdot\ …\ \cdot a}_{\text{n\ раз}}$.

    Причем называют:
    $a^{n}$ — степенью;
    $a$ — основанием степени;
    $n$ — показателем степени.

    Обратите внимание, что показатель степени $n>1$.

    Да, математическое определение степени на первый взгляд звучит непросто. Давайте во всем разберемся на следующем примере:

    $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=$

    В данном примере представлено произведение пяти $2$-ек.

    Чтобы записать такое произведение в виде степени, надо $2$-ку записать в качестве основания степени, а тот факт, что двоек в умножении пять, превратим в показатель степени. В итоге получим запись: $2^{5}$.

    Потренируйтесь записывать произведения в виде степени числа:

    1. $(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{2}{3})=$
    2. $(a+b)(a+b)=$
    3. $c\cdot c\cdot c+d\cdot d=$

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    1. $=(-\frac{2}{3})^{4}$.
      Объяснение: в произведении множитель $-\frac{2}{3}$ (основание степени) встречается $4$ раза (показатель степени).
    2. $=(a+b)^{2}$.
      Объяснение: в произведении множитель $(a+b)$ (основание степени) встречается $2$ раза (показатель степени).
    3. $=c^{3}+d^{2}$.
      Объяснение: в сумме произведений множитель $c$ (основание степени) встречается $3$ раза (показатель степени), а множитель $d$ (основание степени) — $2$ раза (показатель степени).

    Почему степень именно с натуральным показателем?

    Дело в том, что показатель степени может быть представлен не только в виде натурального числа, но еще в виде целого или дробного чисел.
    Например: $5^{-3}$, $4^{\frac{2}{3}}$.
    Но с такими показателями вы встретитесь в более старших классах.

    Чтение выражений со степенью

    Выражение $2^{5}$ можно прочитать разными способами:

    1. Два в пятой степени;
    2. Пятая степень числа два.

    Помните, что для второй и третей степеней числа есть свои названия: квадрат и куб.

    Например:

    • $5^{2}$. Показатель степени — квадрат.
      Значит, выражение можно еще прочитать как «пять в квадрате» или «квадрат числа пять».
    • $4^{3}$. Показатель степени — куб.
      Значит, выражение можно еще прочитать как «четыре в кубе» или «куб числа четыре».

    Потренируйтесь правильно читать выражения со степенями всеми предложенными выше способами:

    1. $2.4^{4}$
    2. $b^{3}$
    3. $(3a)^{2}$

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    1. «Две целых четыре десятых в степени четыре» или «четвертая степень числа две целых четыре десятых».
    2. «b в степени три», «третья степень числа b», «b в кубе» или «куб числа b».
    3. «Три a в степени два», «вторая степень числа три a», «три a в квадрате» или «квадрат числа три a».

    Возведение числа в степень

    Чтобы возвести число в степень (найти значение степени), надо найти значение произведения одинаковых множителей.

    Рассмотрим это подробнее на следующем примере:

    $(2\frac{1}{3})^2=(\frac{7}{3})^{2}=\frac{7}{3}\cdot\frac{7}{3}=\frac{49}{9}=5\frac{4}{9}$.

    А как вы думаете, выражения $(-1.2)^2$ и $-\ 1.2^{2}$ тождественно равны?

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    На самом деле выражения не равны.

    В первом выражении $(-1.2)^2$ знак «$-$» стоит внутри скобок, то есть возводится во вторую степень отрицательное число $-1.2$:
    $(-1.2)^2=(-1.2)\cdot(-1.2)=1.44$

    Во втором выражении $-1.2^{2}$ знак «$-$» не объединен скобками с числом, то есть возводится во вторую степень число $1.2$. А знак «минус» для себя можно трактовать как умножение $-1$ на квадрат числа $1.2$:
    $-1.2^2=(-1)\cdot1.2\cdot1.2=(-1)\cdot1.44=-1.44$

    Не находя значения степени, определите, какое из выражений больше: $(-\frac{1}{2})^3$ или $(-\frac{1}{4})^2$.

    Показать ответ

    Скрыть ответ

    На самом деле $(-\frac{1}{4})^2>(-\frac{1}{2})^3$.

    Дело в том, что в выражении $(-\frac{1}{2})^3$ отрицательное число возводится в нечетную степень (3 — нечетное число).
    Посмотрите, к чему это приводит, если подсчитать ответ: $=(-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\cdot(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{8}$.
    Значение степени также отрицательное.

    А в выражении $(-\frac{1}{4})^2$ отрицательное число возводится в четную степень (2 — четное число).
    Посмотрите, к чему это приводит, если подсчитать ответ: $=(-\frac{1}{4})\cdot(-\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$.
    Значение степени положительное.

    А как мы знаем, положительные числа больше отрицательных.

    При возведении отрицательного числа в степень с четным показателем получаем положительное число.

    При возведении отрицательного числа в степень с нечетным показателем получаем отрицательное число.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение