Проценты

В рамках данного урока мы расскажем о том, что такое проценты, как они связаны с десятичными дробями, как найти процент от числа и целое число по известному проценту, а также что такое процентное соотношение.

Наверняка вы не раз встречали слово «процент». Например, на бутылках молока пишут «$2.5\%$», «$3.2\%$», на баночках сметаны – «$15\%$», «$20\%$». Вы знаете, что в банке кредит дают под проценты, а в прогнозе погоды говорится о влажности воздуха – тоже в процентах. Что из себя представляют проценты и как они высчитываются в математике?

Что такое проценты

Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», которое обозначает «на сто», то есть – сотая доля. Проценты обозначаются при помощи специального значка «$\%$».

Этот значок произошёл от сокращения – сначала употребляли итальянский термин «per cento», потом его сократили до «pco». В те времена много записей велось от руки, и в какой-то момент буква «с», похожая на «о», тоже превратилась в кружочек, а между ними стали писать знак дроби.

Читая примеры и задачи с значком процента, важно правильно склонять это слово. Например, если мы читаем: «влажность воздуха $20\%$», то это будет звучать как «влажность воздуха двадцать процентов», а надпись на бутылке молока «молоко $3,2\%$» расшифровывается как «молоко с жирностью три целых, две десятых процента».

Процент как сотая часть

$$1\% = 0.01$$

Мы привыкли, что сотая часть метра – это сантиметр. С помощью процентов мы можем обозначить сотую часть чего угодно – например, населения страны, заработанных денег, объёма кастрюли…

При сравнении двух величин за $100\%$ чаще всего принимается та величина, которая больше. Например, если мы говорим «$5\%$ учащихся школы», значит, $100\%$ — это все учащиеся школы.

Иногда за $100\% $ принимают исходную величину. Например, если говорится, что прибыль от фильма составила $134\%$, значит, расходы на фильм полностью окупились (на $100\%$), и плюс он принёс доход в размере $34\%$ от потраченных на съёмки денег.

{"questions":[{"content":"Детское фруктовое пюре на $49\\%$ состоит из яблок, на $35\\%$ из груш, на $12\\%$ из персиков. Также в состав входят вода и лимонный сок. Сколько процентов приходится на эти добавки?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"step":1,"hints":["Сначала найдём, сколько процентов составляют все фрукты вместе, для этого сложим число процентов. <br />$49 + 35 + 12 = 96 \\%$","За $100 \\%$ принимаем весь состав пюре. Значит, чтобы найти процентное число добавок, нам нужно из $100$ вычесть процент фруктов. У нас получится $4$."]}]}

Десятичные дроби и проценты

Бросается в глаза сходство процентов и сотых. И действительно, и там, и там мы говорим о сотой доле.

Таким образом, можно легко переводить десятичные дроби в проценты и наоборот.

На рисунке 1 показано, что закрашенная часть прямоугольника равна $\frac{1}{10}$ или $0.10$. Также этот участок составляет $10\%$ от целого.

Если нужно перевести проценты в дробь, нужно убрать значок процентов и разделить число на 100.

Давайте рассмотрим рисунок 2. Закрашено $25\%$ квадрата. Какая это доля?

Показать решение

Скрыть

Если нужно перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить число на $100$ и добавить значок процентов.

Например, $0.2$ от числа – это $20\%$

Нахождение процентов от числа

В зале кинотеатра «Орбита» $300$ мест. Сейчас $12\%$ мест свободно. Сколько ещё зрителей может вместить зал?

Сначала определим, что мы принимаем за $100\%$. Это будет наибольшее число – то есть $300$. Теперь нам нужно найти $1\%$.

Так как $300$ мест – это $100\%$, то, чтобы найти $1%$, нам нужно разделить $300$ на $100$. Это $3$, то есть $3$ места составляют $1$ процент посадочных мест.

Чтобы найти $12\%$ нужно умножить $12$ на $3$. У нас получится $36$. Следовательно, ещё $36$ зрителей могут сесть в зале.

Чтобы найти процент от числа, нам нужно число разделить на $100$ (так мы узнаем, сколько содержится в одном проценте), а затем умножить полученный результат на число процентов.

Нахождение целого по известным процентам

В аквариуме $5$ золотых рыбок, что составляет $25\%$ от общего числа рыбок в аквариуме. Сколько всего рыбок в аквариуме?

Общее число рыбок – это $100\%$. Чтобы найти их, нужно сначала найти $1\%$.

$1\%$ – это не одна рыбка. Это сколько-то рыбок, составляющих сотую долю всех рыбок в аквариуме. Чтобы найти, сколько рыбок составляет эту долю, нужно разделить $5$ на $25$, получится $0.2$

Здесь легко совершить ошибку.

Показать возможную ошибку

Скрыть

Чтобы узнать, чему равны $100\%$, умножим полученное число на $100$. У нас получится $20$. Это и будет общее число рыбок.

Для нахождения одного процента нужно разделить число, составляющее $N$ процентов, на $N$.
Зная, какое число составляет один процент, мы можем вычислить целое, умножив это число на $100$.

Вычисление процентного соотношения

Процентное соотношение – это то, какой процент от целого составляет данное число.
Чтобы найти процентное соотношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на $100$.

В книге $120$ страниц. Образавр прочитал $60$ страниц. Сколько процентов книги он прочитал?

$120$ страниц – это вся книга, то есть $100\%$. Образавр прочитал $\frac{60}{120}$ книги. Нам нужно вычислить, сколько это. Разделим $60$ на $120$, получается $0.5$

Каждая сотая равна $1\%$ книги, значит, сколько сотых прочитал Образавр, столько и процентов. Умножаем $0.5$ на $100$, у нас получается $50\%.$

{"questions":[{"content":"В классе $4$ отличника. Известно, что это $20\\%$ от учеников класса. Сколько всего учеников в этом классе? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"step":1,"hints":["Число всех учеников – $100 \\%$. Сначала нам нужно найти 1$\\%.$ Для этого разделим $4$ на $20$, у нас получается $0.2$.","Зная, сколько учеников составляет $1\\%$, можем вычислить $100\\%$, просто умножив полученное число на $100$. У нас получается $20$."]}]}

Проценты – очень интересная тема. Кроме того, она может пригодиться даже тем, кто редко сталкивается со сложными математическими вычислениями.

{"questions":[{"content":"В магазин привезли $16$ тортов. Из них $4$ торта – «Прага», $6$ «Наполеонов» и $6$ «Медовиков». Каково процентное соотношение каждого из видов тортов? [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Торты «Наполеон»","Торты «Медовик»","Торты «Прага»"],"items":["$37.5\\%$","$37.5\\%$","$25\\%$","$40\\%$","$40\\%$","$20\\%$"]}},"step":1,"hints":["Давайте сначала посчитаем торты «Прага». Их соотношение к общему количеству тортов можно представить как дробь, где в числителе будет число тортов «Прага», а в знаменателе – общее число всех тортов. У нас получается дробь $\\frac{4}{16}$. Проведём деление $4 : 16 = 0.25$","Теперь, чтобы узнать количество процентов, нужно умножить нашу десятичную дробь на $100$. У нас получится $25\\%$.","Похожим образом высчитаем и соотношение «Наполеонов». У нас получится $\\frac{6}{16} = 6 : 16 = 0.375$ <br />Чтобы узнать число процентов, умножаем это число на $100$, получаем $37.5\\%$","Процентное соотношение «Медовиков» будет таким же, ведь их столько же, сколько «Наполеонов». Чтобы проверить, можно вычесть из $100\\%$ количество процентов «Праг» и «Наполеонов». У нас получится $100-25-37.5 = 37.5$"]},{"content":"Содержание кислорода в воздухе – $21\\%$. Каков объём кислорода в классной комнате длиной $13$ метров, шириной $8$ метров и высотой $3.5$ метров?[[input-16]]","widgets":{"input-16":{"type":"input","unit":"$м^{3}$","answer":"76.44"}},"step":1,"hints":["Сначала нужно высчитать общий объём воздуха в классе. Для этого умножим между собой длину, ширину и высоту. $13 \\cdot 8 \\cdot 3.5 = 364 м^{3}$","Теперь найдём $1\\%.$ Так как весь объём воздуха – это $100\\%$, разделим это число на $100$. Получится $3.64.$ Столько кубических метров воздуха содержится в одном проценте.","Теперь вычислим $21\\%$. Нам нужно просто умножить количество процентов на то количество воздуха, которое содержится в одном проценте. <br />$21\\cdot 3.64 = 76.44$<br />"]},{"content":"Найдите неверное утверждение[[choice-39]]","widgets":{"choice-39":{"type":"choice","options":["$5\\%$ от метра – это $5$ см","$2\\%$ от килограмма – это $20$ г","$3\\%$ от дециметра – это $3$ мм","$4\\%$ от литра – это $4$ мл"],"explanations":["","","","Неправильно, т.к. миллилитр – тысячная доля литра, следовательно, $4\\%$ - это сотая часть от $4000$, то есть $40$ мл"],"answer":[3]}}}]}