Что такое математический язык?

Французы говорят на французском, русские — на русском, немцы — на немецком, а математики — на математическом языке.  Не исключено, что ранее вы могли встречаться с формулировками по типу «перевести на математический язык». Занятная фраза, не находите? Оказывается, язык математики — настолько язык, что к нему даже применимы многие лингвистические понятия такие, как синтаксис и семиотика. Далее мы обсудим, что такое математический язык и зачем вам на нем нужно учиться говорить.  

Естественный и математический языки

Решавр сидит сутками с утками…

Омофония. Явление, когда слова имеют одинаковую фонологическую форму, но пишутся по-разному, а также имеют отличные друг от друга значения.

Естественные языки — те, на которых мы думаем и общаемся в повседневной жизни — полны исключений, спорных правил, избыточности, игривости и двусмысленности. Для них не редкость, чтобы одно и то же слово, произнесенное с разными интонационными окрасами, было способно кардинально изменить восприятие ситуации.

Напротив, для математика нет ничего важнее, чем быть понятным правильно. Запись математическим языком и неясность наподобие «сутками с утками» — недопустимое соседство. Как в свое время заметил гениальный французский математик Анри Пуанкаре: «В математике нет символов для неясных мыслей».

В целом, естественный и математический языки отличаются именно этим. Последний напрочь лишен даже призрачной возможности ввести неопределенность.

Понятие математического языка

Какими же средствами математический язык достигает данной цели? Рассмотрим для примера, как естественный и математический языки подходят к решению задачи «сформулировать распределительный закон».

Обратим внимание на два следующих аспекта:

Избыточность. «Человеческий» язык чрезмерно обильный. Как же много места занимает формулировка естественным языком! А математический язык определенно является отождествлением принципа: «Краткость — сестра таланта».

Амбивалентность. Отсутствие какой-либо неопределенности в записи переменными открыто показывает, что такое математический язык, — альтернативной трактовки нет.

Вместе с тем предложение, записанное естественным языком, использует одно и то же слово («число») в разных семантических условиях. Поэтому кому-то может быть неочевидно, какое это там число на какое число нужно в итоге умножать.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Помогите Юному Математику пройти проверку Решавра и корректно распределить элементы языков по соответствующим группам.  [[grouper-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/dialogue-test-template.svg"},"grouper-7":{"type":"grouper","labels":["<i>Элементы естественного языка</i>","<i>Элементы математического языка</i>"],"items":[["Слова","Знаки препинания"],["Буквенные обозначения переменных","Числа","Символы арифметических операций"]]}}}]}

Как перевести на математический язык

Итого, математический язык является сжатой, точной и предметной версией языка естественного. Там, где нематематик слышит длинное «сложить два числа и разделить их на третье», математик сразу же синхронно может осуществить запись математическим языком:

$$\frac{a+b}{c}$$

Перевод бывает и обратный — когда запись математическим языком превращается в текст. Например, из записи «$2ab$» получаем «удвоенное произведение чисел $a$ и $b$».

Вкратце, чтобы перевести утверждение на математический язык, важно уметь представлять арифметические операции соответствующими символами. К тому же необходимо понимать, в каком порядке осуществлять запись. И, что самое важное, с вводимыми переменными обходиться следует экономно.

Бритва Оккама и запись математическим языком

Методологический принцип Оккама, он же принцип бережливости, в кратком виде представляет собой следующее: «Не множь сущности без необходимого».  

И это не просто житейская мудрость. Там, где можно обойтись без дополнительных переменных… Лучше, в общем, не вводить лишнего. К примеру, скажем, что нам известна сумма двух чисел — она равна 12. На данном этапе ввиду отсутствия дополнительных данных пока логично ввести две переменные:

$$x+y=12$$

Однако допустим, про числа нам также известно:

$x$ в два раза больше $y$.

Видим, что $x$ и $y$ связаны. А понятие математического языка строится вокруг лаконичности. Поэтому с учетом новых данных разумно сэкономить место и выразить одну переменную через другую: $x=2y$. Если «вернуть на место» переменную $x$, но уже выраженную через $y$, мы сразу находим значение последней:

$$2y+y=12\\y=4$$

Из чего следует, что $x=8$. Если между переменными имеется взаимосвязь, их приравнивают, добавляя необходимые арифметические «грузики» (двойка как «грузик»: $x=\textcolor{coral}{2}y$»), и выражают через друг друга.

Чем сложнее запись математическим языком, тем очевиднее становится важность соблюдения принципа бережливости.

Наибольшая сложность — додуматься, как корректно связать переменные. Но естественный язык всегда содержит «подсказки», какую арифметическую операцию лучше использовать: умножение, деление, сложение или вычитание.

Внимание на курсив:

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Чтобы описать количество шариков у Коли и его друзей, подумайте, сколько потребуется переменных для составления соответствующей записи. [[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/dialogue-test-scene-1.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Хватит одной переменной.","Нужно ввести две переменные.","Потребуется три переменные."],"explanations":["","<i>Конечно. Количество шариков Светы выражается через количество шариков Коли и Димы. Две переменные — и не переменной больше!</i>",""],"answer":[1]}}},{"content":"[[image-25]]Напомним, нам известно следующее: у Светы шариков <i>в два раза больше</i>, чем у обоих ребят в сумме. <br /><br />Как выразить количество шариков Светы через количество шариков Коли $(\\textcolor{blue}{x})$ и Димы $(\\textcolor{blue}{y})$? Выберите наиболее подходящее алгебраическое выражение. [[choice-47]]","widgets":{"image-25":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/gialogue-test-scene-2.svg"},"choice-47":{"type":"choice","options":["$2(x+y)$","$2x+y$","$\\frac{1}{2}(x+y)$"],"answer":[0]}}},{"content":"[[image-85]]Выберите, как будет выглядеть конечная запись математическим языком утверждения: «<i>У Коли несколько шариков, у Димы есть несколько шариков, а у Светы их в два раза больше, чем у ребят вместе взятых. Сколько всего шариков у Коли, Димы и Светы?</i>» [[choice-101]]","widgets":{"image-85":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/gialogue-test-scene-3.svg"},"choice-101":{"type":"choice","options":["$x+2y+(x+y)$","$3x+3y$","$2(x+y)+2$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["$x+y$ — количество шариков у Коли и Димы. $2(x+y)$ — количество шариков у Светы.","Складываем и <i>сокращаем</i>:<br />$$x+y+2(x+y)=x+y+2x+2y$$","Итого: $$3x+3y$$"]}],"mix":1}