Математика/5 класс/Обыкновенные дроби/НОК и НОД/

Наибольший общий делитель

Содержание

723 874

На этом уроке мы узнаем, что такое наибольший общий делитель (сокращенно НОД), рассмотрим способы его нахождения, а также познакомимся с признаками деления числа на $2$, $3$, $5$, $7$.

Для чего нужен наибольший общий делитель?

Наибольший общий делитель заданных чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое все заданные числа делятся без остатка.

Наибольший общий делитель необходим для того, чтобы работать с обыкновенными дробями. Также он тесно связан с другим математическим понятием — наименьшим общим кратным.

Чаще всего НОД находится для двух чисел, но его также можно находить и для нескольких чисел одновременно.

Признаки деления на число

При вычислениях НОД нам помогут признаки деления на число. Они есть у многих чисел. Нам понадобятся вот эти четыре, если их запомнить, они станут нашими помощниками.

признак деления на $2$

Число делится на $2$, если оно четное, т. е. заканчивается на четную цифру: $0,\space 2, \space4,\space 6, \space8$.

{"questions":[{"content":"Выберите числа, которые делятся на $2$:[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$84$","$1002$","$45$","$869$"],"answer":[0,1]}}}]}

признак деления на $5$

Число делится на $5$, если его последняя цифра равна $0$ или $5$.

{"questions":[{"content":"Выберите число, которое делится на $5$:[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$84$","$1002$","$45$","$869$"],"answer":[2]}}}]}

признак деления на $3$

Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.

{"questions":[{"content":"Выберите числа, которые делятся на $3$:[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$84$","$1002$","$45$","$869$"],"answer":[0,1,2]}},"step":1,"hints":["Найдем сумму цифр каждого из чисел и попробуем разделить на $3$:$$8+4=12 \\newline 12:3 = 4$$","$$1+0+0+2=3\\newline 3:3 = 1$$","$$4+5=9\\newline 9:3 = 3$$","$$8+6+9=23\\newline 23:3 = 7 \\space (ост. \\space 2)$$"]}]}

признак деления на $7$

Число делится на $ 7 $, если утроенное число десятков плюс число единиц делится на $7$.
Например, число $154\space (15\cdot3 + 4 = 49) $

{"questions":[{"content":"Делится ли число $273$ нацело на $7?$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Делится","Не делится"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем утроенное число десятков числа $273$:$$27\\cdot 3 = 81$$","Добавим к полученному ответу количество единиц числа $273$:$$81+3=84$$","$84$ делится на $7$, поэтому $273$ также делится на $7$."]}]}

Первый способ нахождения НОД

первый способ нахождения НОД

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел:

Расписываем все делители каждого числа в строку.
Берем наибольшее число, которое встречается в делителях всех чисел.

пример

Найдите наибольший общий делитель у числителя и знаменателя дроби $\frac{12}{40}$.

Делители числа $12$: $2, 3, 4, 6, 12$.

Мы не берем $1$, так как единица для нас бесполезна в качестве делителя, потому что дает в результате то же число. Также мы отбросили $5, 7, 8, 9, 10, 11$, потому что число $12$ нельзя поделить на эти числа без остатка.

Делители числа $40$: $2, 4, 5, 8, 10, 20$.

Теперь запишем все наши делители. Вот что получилось:

Сразу видно, какие числа общие. Это $2$ и $4$. Так как $4$ больше, оно и является наибольшим общим делителем.

{"questions":[{"content":"Найдите НОД чисел $16$ и $28$ первым способом.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Распишем все делители данных чисел в строку и найдем наибольший общий делитель:$$16: 2, \\textcolor{coral}{4}, 8, 16 \\newline 28:2,\\textcolor{coral}{4},7,14,28$$"]}]}

Второй способ нахождения НОД

второй способ нахождения НОД

Раскладываем числа не на делители, а на простые множители.
Определяем общие простые множители для всех чисел.
Если такой множитель один, он и будет являться наибольшим общим делителем.
Если общих множителей несколько, то наибольшим общим делителем будет являться произведение этих множителей.

Простой множитель — это простое число — натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на два натуральных числа — единицу и само себя.

Разложение числа на простые множители

При разложении на простые множители нашими делителями чаще всего будут числа $ 2, 3, 5, 7 $.

Сначала пробуем поделить число на $2$, затем на $3$, на $5$ и так далее.

Разложим число $56$ на множители:

Сначала пытаемся разделить $56$ на $2$. $56:2=28$. Первый множитель — $\textcolor{blue}{2}$.
Разделим полученный результат на $2$. $28:2=14$. Второй множитель — $\textcolor{coral}{2}$.
Снова производим деление на $2$. $14:2=7$. Третий множитель также число $\textcolor{green}{2}$.
Число $7$ является простым и делится только на себя. Последний множитель — число $\textcolor{orange}{7}$.
Итого имеем: $56=\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} \cdot \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orange}{7}$.

{"questions":[{"content":"Разложите число $81$ на простые множители.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$81=3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3$","$81=3 \\cdot 2 \\cdot 5 \\cdot 7$","$81=3 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$81$ не делится на $2$, так как заканчивается на нечетное число $1$.","Так как сумма $8$ и $1$ делится на $3$, значит, и $81$ делится на $3$: $$81:\\textcolor{blue}{3}=27$$","$27$ делится на $3$:$$27:\\textcolor{coral}{3}=9$$","$9$ делится на $3$:$$9:\\textcolor{green}{3}=3$$ $\\textcolor{orange}{3}$ — простое число.","Получаем: $81 = \\textcolor{blue}{3} \\cdot \\textcolor{coral}{3} \\cdot \\textcolor{green}{3} \\cdot \\textcolor{orange}{3}$"]}]}

пример

Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{40}$ на простые множители:$$12=\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} \cdot 3 \newline 40 = \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} \cdot 2 \cdot 5$$

Находим среди множителей обоих чисел одинаковые числа и перемножаем их между собой:$$\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} =4$$

Записывают наибольший общий делитель так:

НОД ($12$ и $40$) $= 4$

Теперь, когда мы знаем НОД, мы можем легко сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД:

$$\frac{12}{40} = \frac{12:4}{40:4}=\frac{3}{10}$$

{"questions":[{"content":"Посмотрите на записи НОД ниже. Один из НОД найден неверно, какой?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["НОД $(16$ и $48)$ $= 8$","НОД $(56$ и $10)$ $= 2$","НОД $(27$ и $18)$ $= 9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["У чисел $16$ и $48$ наибольший общий делитель — $16$."]}]}

Часто задаваемые вопросы

Является ли множителем число, если в результате деления на него получился остаток?

Если в итоге деления получается остаток, то такое число не является множителем данного числа.

Почему при разложении на простые множители не используются числа $4, 6, 8, 9?$

При разложении на простые множители не используются числа $4, 6, 8, 9$, потому что эти числа не являются простыми. Число $4$ состоит из двух простых множителей: $4=2 \cdot 2$. $6=3\cdot 2$ и так далее.

Проверим знания по теме?

Наибольший общий делитель

Пройти тест

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хотите оставить комментарий?

Войти

Наибольший общий делитель

Для чего нужен наибольший общий делитель?

Признаки деления на число

Первый способ нахождения НОД

Второй способ нахождения НОД

Часто задаваемые вопросы

Проверим знания по теме?

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что можно улучшить?

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Отменить ответ

Хотите оставить комментарий?