Следствия из аксиомы параллельности

Разберем следствия из аксиомы параллельности. Зачем? Ну, нельзя же просто так взять и сказать: «Прямые $a$ и $b$ параллельны. На чертеже видно!»

Для того, чтобы сделать формальный вывод о параллельности, в геометрии используется ряд доказательных инструментов.

Резонно предположить, что часть этих инструментов основана на выводах из аксиомы параллельности. Давайте выясним, что аксиома параллельности предлагает на уровне «из этого следует».

Следствие в геометрии

{"questions":[{"content":"Неплохо вспомнить для начала, что за исходное положение понимается под «<i>аксиомой параллельности</i>». Выберите верное утверждение. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.","Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят как минимум две прямых, параллельных данной.","Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и перпендикуляр к данной прямой."],"answer":[0]}}}]}

Помимо аксиом и теорем в геометрии существуют следствия. Это утверждения, которые заключаются из доказанных теорем или принятых аксиом. Необходимы они, дабы помогать приводить более полную трактовку содержания понятий.

Как своего рода пояснение. Только несмотря на то, что следствие в геометрии напрямую выводится из уже некоего существующего базиса, для него все равно требуется отдельное доказательство.

Зачем?

Мы не зря подчеркнули важность доказательства следствия. Доказательство необходимо для проверки отсутствия противоречия между выводимым суждением и аксиомой-основой или теоремой-основой. Если возникает противоречие, это говорит о том, что следствие ошибочно.

Из аксиомы параллельности обычно выводятся два значимых следствия, которые вкупе с теоремами о секущих будут формировать так называемые признаки параллельности прямых. Подробнее о признаках — далее, в следующем уроке.

На время ограничимся определением того, что такое следствие в геометрии и тем, какие следствия предполагает аксиома параллельности:

Следствия — утверждения, выводимые из определений, аксиом и теорем.

Следствия из аксиомы параллельности: первое следствие

Первое следствие из аксиомы параллельности. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.

Проведем две прямые $a$ и $b$ таким образом, чтобы каждая была параллельна третьей прямой $c$. Докажем, что $a$ и $b$ параллельны между собой, то есть что если $a\parallel{c}$ и вместе с тем $b\parallel{c},$ то $a\parallel{b}$.

Доказательство

Пойдем от противного и предположим, что $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке.

Если бы это действительно было так, то через точку пересечения можно было бы провести две прямые, параллельные $c,$ — напомним, по условию $a\parallel{c}$ и $b\parallel{c}$. Это противоречит аксиоме параллельности, ведь через одну точку невозможно провести две параллельные прямые. Значит, $a\parallel{b}$.

Следствие доказано.

Алгоритм доказательства следующий: вначале вводится утверждение от противного, чтобы после привести его к противоречию с аксиомой, теоремой или определением. Если в ходе доказательства противоречия не обнаруживается — следствие ошибочно.  Это стандартная процедура «обратного» доказательства, она ранее известна нам как доказательство от противного.

{"questions":[{"content":"Проверьте себя. Насколько хорошо вы поняли алгоритм? <br /><br />Дано некоторое утверждение $A$. Восстановите правильный порядок схемы доказательства истинности утверждения <b>методом от противного</b>. В случае сложностей обратитесь к разъяснению ниже. <br />[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Принимается предположение об истинности утверждения, противоположного $A$ — оно же $\\bar{A}$.","В течение доказательства из выдвинутого предположения выводится утверждение $B$.","Если следствие $B$ ложно, то истинность связки «если $\\bar{A}$, то $B$» возможна только при условии ложности $\\bar{A}$.","Раз $\\bar{A}$ ложно, то обнаружено противоречие. Следовательно $A$ — истинное суждение."]}}}]}

Доказательство от противного: импликация

Мы вновь возвращаемся к импликациям — они же следствия, они же связка «если одно, то другое». Здесь законы логики просты: из «если»-правды нельзя вывести «то»-ложь и получить истину.

Иными словами, можно сказать, что раз некоторое суждение $A$ истинно, то никак из него нельзя вывести противоречивое, ложное суждение $B$. С толку сбивает, пожалуй, отрицание $A$, но в этом и заключается суть метода: пытаться доказывать не истинность $A$, а истинность $\bar{A}$.

В логике частица «не» — отрицание — обозначается как черточка ($\bar{A}$) или также с помощью инверсионного символа ($\neg{A}$).  

Если за правду вы принимаете «суждение от противного» $\bar{A}$, то есть отрицание $A$, из этого суждения выводите ложное следствие $B$, то $\bar{A}$ — ложь. Вывод понятный, ведь, повторимся, из правды ложь не выводится. Из чего следует истинность $A$: раз не $\bar{A}$, тогда $A$. Третьего не дано.

Задача. У маляра есть банки только с желтой и фиолетовой красками. Банки с желтой краской всегда большие. Есть маленькая банка с краской. Докажите, что краска в ней фиолетовая.

Давайте покажем формальную схему, как устроено доказательство от противного, на примере простой логической задачи.

$A$ — краска в банке фиолетовая.
$\bar{A}$ — краска в банке желтая («не фиолетовая», отрицание $A$).
$B$ — банка большая.

Допустим, $\bar{A}$ — истинное суждение: краска в банке-икс не фиолетовая, а желтая. По условию известно, что большой банка может быть, только если краска в ней желтая. Выходит, что «если $\bar{A}$, то $B$». Но это невозможно, поскольку заведомо также известно, что банка-икс маленькая.

Мы обнаружили противоречие, которое сообщает о том, что утверждение $\bar{A}$ в применении к банке-икс ложное. Следовательно утверждение $A$ — истина, что и требовалось доказать. Банка фиолетовая.   

О противоречиях

Внимательный читатель мог заметить странность, связанную с противоречиями. Изначально, когда речь шла про следствия, мы подчеркнули важность их доказательства, дабы исключить противоречие с аксиомой-основой или теоремой-основой. Следствие не может противоречить аксиоме, из которой оно выводится, и это факт.

Однако при этом мы указывали, что если в ходе доказательства следствия не обнаруживается противоречия, то следствие является ошибочным. Противоречия нет, а следствие ошибочное?

Не забывайте, что речь идет не просто о доказательстве, а о доказательстве от противного. За основу принимается отрицание следствия. При отрицании истинного следствия отсутствие противоречия недопустимо.

👉 Истинное следствие не должно противоречить аксиоме-основе.
👉 Отрицание истинного следствия должно противоречить аксиоме-основе.       

Следствия из аксиомы параллельности: второе следствие

Второе следствие из аксиомы параллельности. Прямая, пересекающая другую прямую, пересечет и параллельную другой прямую.  

Пусть имеются прямые $a,$ $b$ и $c$ так, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $F$. Докажем, что прямая $c$ при продолжении также пересечет и прямую $b$ в некоторой точке.

Еще раз внимание на доказательный алгоритм!