Высота треугольника, биссектриса и медиана

Из вершин треугольника к противолежащим от вершин сторонам можно проводить различные отрезки, причем так, чтобы получать «интересные данные» внутри фигуры. К примеру, отрезок из вершины можно опустить таким образом, что в итоге он «приземлится» ровно посередине противолежащей от вершины стороны. В геометрии существует три подобных отрезка, что задают для треугольника новые геометрические параметры — высота треугольника, биссектриса треугольника и медиана треугольника.

Высота треугольника

Пусть нам дан треугольник $\bigtriangleup{ABC},$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$, образующий при этом перпендикуляр к стороне $AB$. Тогда отрезок $CD$ будет являться высотой треугольника $\bigtriangleup{ABC}$. Аналогичный перпендикуляр можно опустить как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

Получается, что:

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

В остроугольном треугольнике — где углы имеют значение $<90^{\circ}$ — чертеж высот не вызывает сложности: они всегда будут пересекаться внутри треугольника. Однако если треугольник тупоугольный — один из углов имеет значение $>90^{\circ},$ — провести высоту будет уже не так интуитивно просто.

Осмотрите треугольник $\bigtriangleup{PMK}$ выше, с тупым углом $\angle{M}$.

Нам необходимо провести высоту из вершины $K$ к стороне $PM$. Подумайте, как будет располагаться отрезок, выполните чертеж и сравните свои предположения со скрытым чертежом.

Пересечение высот: как найти высоту треугольника

Выходит, что в остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке, расположенной строго внутри треугольника — никаких дополнительных построений не требуется.

Высоты в тупоугольном треугольнике пересекаются в точке, расположенной вне треугольника, — чтобы найти высоту треугольника, необходимо достраивать продолжение сторон. Так, в случае с нашим тупоугольным треугольником, высоты пересекаются в точке $O$ — внимание на чертеж выше.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Помимо остроугольного и тупоугольного треугольника, существует треугольник прямоугольный — частный случай, когда один из углов прямой, то есть равняется $90^{\\circ}$. Что это за треугольник и какими свойствами он обладает, подробнее мы разберем далее в курсе геометрии. Пока что давайте просто поразмышляем: а где же будут <b>пересекаться высоты</b> в прямоугольном треугольнике?  [[choice-11]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-right.svg","width":"500"},"choice-11":{"type":"choice","options":["Внутри треугольника.","Внутри по центру треугольника.","Вне треугольника.","В вершине прямого угла."],"explanations":["","","","Это очень логично! <br /><br />В треугольнике $\\bigtriangleup{ABC}$ сторона $AB$ является высотой к стороне $BC$, и наоборот, ведь $\\angle{B}$ — прямой. Высота к стороне $AC$ будет выходить из вершины $B$. Так что точка пересечения высот в прямоугольном треугольнике, получается, располагается в точке $B$ — в вершине прямого угла."],"answer":[3]}}}]}

Биссектриса угла треугольника

Пусть нам дан треугольник $\bigtriangleup{ABC},$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$ таким образом, что $\angle{C}$ делится отрезком $CD$ на два равных друг другу угла. Тогда отрезок $CD$ будет называться биссектрисой угла треугольника $\bigtriangleup{ABC}$ (от лат. ‘bi’ — «два», ‘secare’ — «резать»).

По аналогии с высотами, биссектриса угла треугольника опускается как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

Дадим определение:

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину с противолежащей стороной и делящий при этом угол данной вершины пополам.

В отличие от высоты, биссектриса — понятие, теснее связанное с углом, чем с треугольником, поэтому ряд ее свойств больше определяет геометрию углов, чем геометрию треугольников. Например, одно из таких замечательных свойств связано со смежными углами. Оказывается, что биссектрисы, проведенные из смежных углов, будут образовывать прямой угол. Давайте это докажем!  

Теорема о биссектрисах смежных углов. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Доказательство. $\angle{AOC}$ является смежным с $\angle{COE}$. $OB$ — биссектриса $\angle{AOC};$ $OD$, соответственно, биссектриса $\angle{COE}$. По свойству смежных углов известно, что сумма смежных углов равняется $180^{\circ}$. То есть:

$$\angle{AOC}+\angle{COE}=180^{\circ}.$$

Согласно условию $\angle{AOB}=\angle{BOC}=\frac{\angle{AOC}}{2}$, $\angle{COD}=\angle{DOE}=\frac{\angle{COE}}{2}$. Тогда уравнение выше можно представить в следующем виде:

$$2\angle{BOC}+2\angle{COD}=180^{\circ}$$

Разделим обе части уравнения на $2$ и получим: $\angle{BOC}+\angle{COD}=90^{\circ}.$ $\angle{BOC}+\angle{COD}$ равняется $\angle{BOD}$. Теорема доказана.   

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Даны $\\angle{AOB}, \\angle{BOC}$ и биссектрисы к углам $OP$ и $OK$ соответственно. Угол $\\angle{AOB}$ — смежный с $\\angle{BOC}$. Известно, что $\\angle{AOP}=15^{\\circ}$. Чему равняется $\\angle{KOC}?$ [[input-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-2.svg","width":"500"},"input-7":{"type":"input","answer":"75"}},"step":1,"hints":["Сумма смежных углов равняется $180^{\\circ}$. Тогда: $\\angle{AOB}+\\angle{BOC}=180^{\\circ}.$","По теореме о биссектрисах смежных углов $\\angle{POK}=90^{\\circ}.$","$\\angle{AOK}=\\angle{AOP}+\\angle{POK}.$ Угол $\\angle{AOP}$ задан условием и равняется $15^{\\circ}.$","$\\angle{KOC}=180^{\\circ}-\\angle{AOK}.$","Осталось только посчитать!"]}]}

Медиана

Наконец, проведем отрезок $CD$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ таким образом, что сторона $AB$ поделится на два равных друг другу отрезка. Мы получили третий важный отрезок в треугольнике — медиану (от лат. ‘medianus’ — «средний»).  

По определению:

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Есть три треугольника. Есть три отрезка — медиана, высота и биссектриса. Попробуйте определить, где какой отрезок проведен. <br />[[matcher-4]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/test-3.svg"},"matcher-4":{"type":"matcher","labels":["Треугольник «1»","Треугольник «2»","Треугольник «3»"],"items":["Биссектриса","Медиана","Высота"]}}}]}

Обратили внимание?

Медианы, как и биссектрисы с высотами, пересекаются в одной точке внутри треугольника. Исключением является тупоугольный треугольник и его высоты: высоты в тупоугольном треугольнике пересекаются вне треугольника.

Доказать это, к сожалению, нам пока не по силам, ибо требуется знание нескольких важных теорем, которые мы обязательно изучим в курсе далее. Как только, так сразу. Пока — принять, понять, поверить, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решим задачу!

В $\bigtriangleup{ABC}$ проведена медиана $AD$ к стороне $BC$. Продолжение медианы проходит через точку $E$, расположенную вне треугольника так, что $AD=DE$. Докажите, что треугольники $\bigtriangleup{ACD}$ и $\bigtriangleup{BED}$ равны.