Геометрия/7 класс/Треугольники/Первый признак равенства треугольников/

Треугольник. Первый признак равенства треугольников

Содержание

Возьмем и отметим на плоскости три точки — $A$, $B$ и $C$ — таким образом, чтобы они не лежали на одной прямой. Соединим их, получив в результате отрезки $AB$, $BC$ и $CA$. Фигура, образованная данными отрезками, будет называться «треугольник». Сегодня мы с вами ознакомимся с основными свойствами данной фигуры и узнаем, что такое первый признак равенства треугольников.

Что такое треугольник

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих эти точки.

Чтобы было удобнее говорить о том, что «происходит» вокруг фигуры, в геометрии вводятся понятия сторон и вершин.

Вершины — это точки отрезков, получаемые вследствие пересечения прямых. Посмотрите на чертеж: здесь вершины — точки $A$, $B$ и $C$. Стороны — это отрезки: $AB$, $BC$ и $CA$.

При пересечении прямые образуют три угла (еще бы, фигура ведь называется треугольником!): $\angle{CAB}$, $\angle{ABC}$, $\angle{BCA}$.

Обозначения треугольника

Как вы помните, в геометрической нотации приняты удобные сокращения. Мы с вами уже имели дело с обозначением перпендикулярности — «$\perp$», а также с обозначением угла — «$\angle$».

У треугольника имеется свой значок и выглядит он так: «$\bigtriangleup$». К примеру треугольник выше с вершинами $A, B$ и $C$ в краткой записи обозначается $\bigtriangleup{ABC}$.

{"questions":[{"content":"Сумма длин сторон фигуры называется <b>периметром</b> и обозначается латинской заглавной литерой $P$. Как думаете, если периметры треугольников равны, можно ли говорить о том, что равны сами треугольники? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Конечно!","Ну уж нет."],"explanations":["Равенство сумм длин сторон ни в коем разе не достаточное условие для равенства треугольников. Почему — расскажем далее.",""],"answer":[1]}}}]}

Периметр треугольника

Начертим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ с заданными длинами сторон: $AB=3$, $BC=3.5$, $CA=4$. Мы упомянули ранее, что если сложить величины сторон, то в итоге мы получим периметр — сумму длин сторон фигуры. Периметр $P_{\bigtriangleup{ABC}}=3+3.5+4=10.5$.

Положим, что существует треугольник $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ со сторонами $A_{1}B_1=6$, $B_{1}C_1=2$, $C_{1}A_1=2.5$. Периметр $P_1$ треугольника $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}$ также равняется $10.5$.

Условие: $P_{\bigtriangleup{ABC}}=P_{\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_{1}}}$.
Равны ли при этом треугольники? Нет.

Многие ошибочно принимают равенство периметров за единственно достаточное условие равенства фигур. Говорить о равенстве фигур, в нашем случае — треугольников, возможно только в том случае, когда фигуры полностью соответствуют друг другу: длины их сторон попарно равны, ровно так же, как и углы.

Если равны треугольники, то равны их периметры: в равных треугольниках — равные стороны. Наоборот это не работает.

Если совмещать друг с другом углы и стороны и получать при этом равные величины, можно говорить о равенстве фигур. Однако оказывается, что на практике для определения равенства треугольников не обязательно знать каждый угол и каждую сторону каждого треугольника.

Периметр: решим задачу!

Треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ имеет следующие длины сторон: $AB=5,$ $BC=4,$ $CA=6$. Известно, что $P_{\bigtriangleup{ABC}}$ равняется $P_{\bigtriangleup{DEF}}$. В треугольнике $\bigtriangleup{DEF}$ известны длины следующих сторон: $DE=4$ и $EF=7$. Чему равняется сторона $FD$?

Дано:
$\bigtriangleup{ABC}, \bigtriangleup{DEF}$
$AB=5$
$BC=4$
$CA=6$
$DE=4$
$EF=7$
$P_{\bigtriangleup{ABC}}=P_{\bigtriangleup{DEF}}$

Найти:
$FD =~?$

{"questions":[{"content":"Попробуйте найти решение задачи самостоятельно. В случае сложностей — обратитесь к пошаговому решению ниже. Итак, если у вас есть свое решение, проверьте себя. Сторона $FD$ равняется:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["7","5","4","3"],"answer":[2]}}}]}

Решение
Определим значение периметра $P_{\bigtriangleup{ABC}}$. Для этого необходимо сложить величины его сторон, заданные условием задачи:

$$P_{\bigtriangleup{ABC}}=AB+BC+CA=5+4+6=15$$

Также по условию нам известно, что периметр $P_{\bigtriangleup{DEF}}$ равен периметру треугольника $\bigtriangleup{ABC}$. Следовательно, $P_{\bigtriangleup{DEF}}=15$. Периметр — сумма сторон, две из которых в треугольнике $\bigtriangleup{DEF}$ нам даны: $DE=4$ и $EF=7$. Остается решить простое уравнение:

$$P_{\bigtriangleup{DEF}}=DE+EF+x$$

Откуда находим, что $x=4$. Значит, сторона $FD$ равняется $4$.

Ответ: 4.

Первый признак равенства треугольников

Теорема. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть имеется треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ с заданными сторонами $AB$ и $AC$ с углом $\angle{BAC}$ между ними.

Пусть также имеется треугольник $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$ с заданными сторонами $A_{1}B_1$ и $A_{1}C_1$ и углом $\angle{B_{1}A_{1}C_1}$.

Опираясь на признаки равенства треугольников, если $AB=A_{1}B_1$, $AC=A_{1}C_1$ и $\angle{BAC}=\angle{B_{1}A_{1}C_1}$, то $\bigtriangleup{ABC}=\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$. Докажем это.

Доказательство

Поскольку $\angle{BAC}=\angle{B_{1}A_{1}C_1}$, то соответствующие треугольники можно наложить друг на друга, совмещая вершины $A$ и $A_1$. При этом стороны $AB$ и $AC$ совместятся со сторонами $A_{1}B_1$ и $A_{1}C_1,$ согласно условию теоремы о равенстве величин пар сторон.

Вершины $B$ и $C$ при этом совместятся с вершинами $B_1$ и $C_1$, а это значит, что все вершины треугольников $\bigtriangleup{ABC}$ и $\bigtriangleup{A_{1}B_{1}C_1}$ полностью совмещены. Следовательно, треугольники равны. Теорема доказана.

{"questions":[{"content":"Известно, что $P_{\\bigtriangleup{ABC}}> P_{\\bigtriangleup{DEF}}$. Можно ли говорить о возможности равенства соответствующих треугольников?  [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет.","Да!","В этом случае условие с периметром недостаточно для выводов о равенстве фигур."],"explanations":["Хоть равенство периметров и не является <i>достаточным</i> условием, чтобы говорить о равенстве треугольников, условие это <i>необходимое</i>. В равных треугольниках — равные стороны, поэтому сумма сторон треугольников будет равна. В случае с $\\bigtriangleup{ABC}$ и $\\bigtriangleup{DEF}$ это невозможно.","А как у равных треугольников могут быть разные величины периметров, если периметр — сумма всех сторон?","Периметр — сумма всех сторон. Если треугольники равны, равны и стороны самих треугольников. У нас по условию один периметр больше… Не наводит на мысли?"],"answer":[0]}}}]}

Первый признак равенства треугольников: задача!

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что точка $O$ делит данные отрезки ровно пополам. Известно, что длина отрезка $AC$ равняется $10$. Чему равняется отрезок $DB$?

Дано:

$AO=OB$
$CO=OD$
$AC=10$

Найти:

$DB =~?$

Решение
Рассмотрим $\bigtriangleup{AOC}$ и $\bigtriangleup{BOD}$. Согласно условию, отрезки $CO$ и $OD$ равны — равны также отрезки $AO$ и $OB$.

Углы $\angle{AOC}$ и $\angle{BOD}$ — вертикальные, следовательно равные.

По теореме о первом признаке равенства треугольников имеем, что $\bigtriangleup{AOC}$ и $\bigtriangleup{BOD}$ равны: две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого.

Из равенства треугольников $AOC$ и $BOD$ следует, что стороны $AC$ и $DB$ равны.

{"questions":[{"content":"Поскольку по условию задачи имеем длину отрезка $AC$, делаем вывод, что отрезок $DB$ равняется:[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}}}]}

Первый признак равенства треугольников: еще задача!

Имеется два треугольника $\bigtriangleup{ACD}$ и $\bigtriangleup{ACB}$ c общим основанием $AC$, со сторонами, пересекающимися в точке $O$.

Точка $O$ делит стороны заданных треугольников пополам. Известно, что $\angle{CDA}=74^{\circ}$ и $\angle{ACD}=36^{\circ}$. Чему равен $\angle{ACB}$?

Дано:

$\bigtriangleup{ACD}, \bigtriangleup{ACB}$
$DO=OC$
$AO=OB$
$\angle{CDA}=74^{\circ}$
$\angle{ACD}=36^{\circ}$

Найти:

$\angle{ACB} =~?$

Решение
Рассмотрим $\bigtriangleup{AOD}$ и $\bigtriangleup{BOC}$. Треугольники равны по теореме о первом признаке равенства треугольников: сторона $AO$ равна стороне $OB$, сторона $DO$ равна стороне $OC$, $\angle{AOD}=\angle{BOC}$ как вертикальные.

Известно, что в $\bigtriangleup{AOD}$ угол $\angle{ODA}=74^{\circ}$. Из равенства треугольников выходит, что $\angle{ODA}=\angle{OCB}$. Следовательно, имеем следующее:

$$\angle{ACB}=\angle{ACD}+\angle{OCB}=36^{\circ}+74^{\circ}$$

{"questions":[{"content":"Итого, угол $\\angle{ACB}$ равняется [[input-1]] градусам.","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"110"}}}]}